正定矩阵的判别方法

判断矩阵是否为正定矩阵有两种方法：找出A的所有特征值。如果A的特征值为正，则A为正；如果A的特征值为负，则A为负；计算A的主要类型。如果A的主要类型大于零，则A为正；如果A的主要类型为负，则A为负。

一、正定矩阵的基本定义

1、广义定义

M是n阶方阵，任何非零向量z都有zMz>其中z表示z的转移，称为M正定矩阵。

例如:Bn阶矩阵，E单位矩阵，a为正实数。aE B当a足够大时，aE B正定矩阵。(B必须是对称阵)

2、狭义定义

n阶实对称矩阵M是正定条件，只有对于所有非零实系数向量z，才有zMz>0。其中z表示z的转置。

二、特征及性质

判断定理1：对称阵A是正定的充分必要条件：A特征值全为正。

判断定理2：对称阵A是正定的充分必要条件：A各阶顺序主子式为正。

判断定理3：任意阵A是正定的充分必要条件：A单位阵合同。

正定矩阵的性质：

任何正定矩阵的主子矩阵也是正定矩阵。

如果A是n阶对称正定矩阵，那么唯一的主对角线元素是正下三角L，使A=L*L′楚列斯基，这种分解被称为正定矩阵(Cholesky)分解。

若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。

（编辑：张老师）

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